Задача 87457

Темы:    [ Сферы (прочее) ] [ Объем шара, сегмента и проч. ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Проведены две параллельные плоскости по одну сторону от центра шара на расстоянии 3 друг от друга. Эти плоскости дают в сечении два малых круга, радиусы которых соответственно равны 9 и 12. Найдите объём шара.

Решение

Обозначим через R радиус шара. Проведём сечение шара произвольной плоскостью, проходящей через диаметр шара, перпендикулярный данным секущим плоскостям. Получим равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD = 2· 12 = 24 и BC = 2· 9 = 18 и высотой, равной 3, вписанную в окружность радиуса R . Пусть CK – высота трапеции. Тогда

DK = (AD - BC) = (24 - 18) = 3,

AK = (AD + BC) = (24 + 18) = 21,

AC = = = = 15.
Треугольник CKD – прямоугольный и равнобедренный. Поэтому KDC = 45^o . Следовательно,
R = = = = 15.
Если V – объём шара, то
V = π R3 = π · 153 = 4500π.

Ответ

4500π .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7969