Страница: 1
2 >> [Всего задач: 6]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
На доске написана функция sin $x$ + cos $x$. Разрешается написать на доске производную любой написанной ранее функции, а также сумму и произведение любых двух написанных ранее функций, так можно делать много раз. В какой-то момент на доске оказалась функция, равная для всех действительных $x$ некоторой константе $c$. Чему может равняться $c$?
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 10,11
|
Экспонентой
y =
ex называется такая
функция, для которой выполнены условия
y'(
x) =
y(
x) и
y(0) = 1.
Какая последовательность {
an} будет обладать аналогичными
свойствами, если производную заменить на разностный оператор
?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Многочлен степени $n > 1$ имеет $n$ разных корней $х_1$, $х_2$, ..., $х_n$. Его производная имеет корни $y_1$, $y_2$, ..., $y_{n-1}$. Докажите неравенство
$$\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n} > \frac{y_1^2 + \dots + y_{n-1}^2}{n-1}.$$
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Существуют ли такие значения a и b, при которых уравнение
х4 – 4х3 + 6х² + aх + b = 0 имеет четыре различных действительных корня?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Пусть f(x) = (x – a)(x – b)(x – c) – многочлен третьей степени с комплексными корнями a, b, c.
Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c.
Страница: 1
2 >> [Всего задач: 6]
Фильтр
Решение
