Версия для печати
Убрать все задачи

---

Будем называть клетчатый многоугольник выдающимся, если он не является прямоугольником и из нескольких его копий можно сложить подобный ему многоугольник. Например, уголок из трёх клеток – выдающийся многоугольник (см. рис.).

  а) Придумайте выдающийся многоугольник из четырёх клеток.
  б) При каких  n > 4  существует выдающийся многоугольник из n клеток?

   Решение

---

CM и BN – медианы треугольника ABC, P и Q – такие точки соответственно на AB и AC, что биссектриса угла C треугольника одновременно является биссектрисой угла MCP, а биссектриса угла B – биссектрисой угла NBQ. Оказалось, что  AP = AQ.  Следует ли из этого, что треугольник ABC равнобедренный?

   Решение

---

В выпуклом четырёхугольнике ABCD заключены две окружности одинакового радиуса r, касающиеся друг друга внешним образом. Центр первой окружности находится на отрезке, соединяющем вершину A с серединой F стороны CD, а центр второй окружности находится на отрезке, соединяющем вершину C с серединой E стороны AB. Первая окружность касается сторон AB, AD и CD, а вторая окружность касается сторон AB, BC и CD. Найдите AC.

   Решение

---

Даны параллелограмм ABCD и некоторая точка M. Докажите, что  S_ACM = | S_ABM±S_ADM|.

   Решение

---

Гриша записал на доске 100 чисел. Затем он увеличил каждое число на 1 и заметил, что произведение всех 100 чисел не изменилось. Он опять увеличил каждое число на 1, и снова произведение всех чисел не изменилось, и так далее. Всего Гриша повторил эту процедуру k раз, и все k раз произведение чисел не менялось. Найдите наибольшее возможное значение k.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 121]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 103811

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Можно ли вычеркнуть из произведения  1!·2!·3!·...·100!  один из факториалов так, чтобы произведение оставшихся было квадратом целого числа?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111346

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Найдите наименьшее натуральное n, для которого число nⁿ не является делителем числа 2008!.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116497

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Известно, что A – наибольшее из чисел, являющихся произведением нескольких натуральных чисел, сумма которых равна 2011.
На какую наибольшую степень тройки делится число A?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64853

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Гриша записал на доске 100 чисел. Затем он увеличил каждое число на 1 и заметил, что произведение всех 100 чисел не изменилось. Он опять увеличил каждое число на 1, и снова произведение всех чисел не изменилось, и так далее. Всего Гриша повторил эту процедуру k раз, и все k раз произведение чисел не менялось. Найдите наибольшее возможное значение k.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73558

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Для любого натурального числа n, большего единицы, квадрат отношения произведения первых n нечётных чисел к произведению первых n чётных чисел больше числа ¹/_4n, но меньше числа ³/_8n. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 121]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями