Задача 103811

Темы:    [ Произведения и факториалы ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Токарев С.И.

Можно ли вычеркнуть из произведения  1!·2!·3!·...·100!  один из факториалов так, чтобы произведение оставшихся было квадратом целого числа?

Решение

1!·...·100! = (1!)²·2·(3!)²·4·...·(99!)²·100 = 2⁵⁰·(1!·3!·...·99!)²·50!.  Отсюда видно, что, вычеркнув 50!, мы получим квадрат числа  2²⁵·1!·3!·...·99!.

Ответ

Можно.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1995/1996
Номер	17
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	3
олимпиада
Название	Математический праздник
год
Год	1996
класс
	1
Класс	7
задача
Номер	6