Дан треугольник ABC. Точки M₁, M₂, M₃ – середины сторон AB, BC и AC, a точки H₁, H₂, H₃ – основания высот, лежащие на тех же сторонах.
Докажите, что из отрезков H₁M₂, H₂M₃ и H₃M₁ можно построить треугольник.

   Решение

Даны шесть слов:
   ЗАНОЗА
   ЗИПУНЫ
   КАЗИНО
   КЕФАЛЬ
   ОТМЕЛЬ
   ШЕЛЕСТ
За один шаг можно заменить любую букву в любом из этих слов на любую другую (например, за один шаг можно получить из слова ЗАНОЗА слово ЗКНОЗА. Какое наименьшее число шагов нужно, чтобы сделать все слова одинаковыми (допускаются бессмысленные)?

   Решение

В пространстве отмечены пять точек. Известно, что это центры сфер, четыре из которых попарно касаются извне и касаются изнутри пятой сферы. При этом невозможно определить, какая точка является центром объемлющей сферы. Найдите отношение радиусов наибольшей и наименьшей сферы.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 85]      

Три шара касаются некоторой плоскости и попарно касаются друг друга. Найдите радиусы шаров, если известно, что точки касания шаров с плоскостью являются вершинами треугольника со сторонами a , b и c .

Прислать комментарий

Решение

В пространстве отмечены пять точек. Известно, что это центры сфер, четыре из которых попарно касаются извне и касаются изнутри пятой сферы. При этом невозможно определить, какая точка является центром объемлющей сферы. Найдите отношение радиусов наибольшей и наименьшей сферы.

Прислать комментарий

Решение

Есть полусферическая ваза, закрытая плоской крышкой. В вазе лежат четыре одинаковых апельсина, касаясь вазы, и один грейпфрут, касающийся всех четырёх апельсинов. Верно ли, что все четыре точки касания грейпфрута с апельсинами обязательно лежат в одной плоскости? (Все фрукты являются шарами.)

Прислать комментарий

Решение

В пространстве расположены 2016 сфер, никакие две из них не совпадают. Некоторые из сфер – красного цвета, а остальные – зелёного. Каждую точку касания красной и зелёной сферы покрасили в синий цвет. Найдите наибольшее возможное количество синих точек.

Прислать комментарий

Решение

Высота цилиндра равна 3r . Внутри цилиндра расположены три сферы радиуса r , причём каждая сфера касается двух других и боковой поверхности цилиндра. Две сферы касаются нижнего основания цилиндра, а третья сфера – верхнего основания. Найдите радиус основания цилиндра.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 85]