Версия для печати
Убрать все задачи

---

Хорды $A_1A_2$ и $B_1B_2$ пересекаются в точке $D$. Прямая $A_1B_1$ пересекает серединный перпендикуляр к отрезку $DD'$, где точка $D'$ инверсна к $D$, в точке $C$. Докажите, что $CD\parallel A_2B_2$.

   Решение

---

Продавец хочет разрезать кусок сыра на части, которые можно будет разложить на две кучки равного веса. Он умеет разрезать любой кусок сыра в одном и том же отношении  a : (1 – a)  по весу, где  0 < a < 1.  Верно ли, что на любом промежутке длины 0,001 из интервала  (0, 1)  найдётся значение a, при котором он сможет добиться желаемого результата с помощью конечного числа разрезов?

   Решение

---

В правильной треугольной пирамиде SABC ( S – вершина) AB=4 , высота SO пирамиды равна . Точка D лежит на отрезке SO , причём SD:DO = 2:9 . Цилиндр, ось которого параллельна прямой SA , расположен так, что точка D – центр его верхнего основания, а точка O лежит на окружности нижнего основания. Найдите площадь части верхнего основания цилиндра, лежащей внутри пирамиды.

   Решение

---

Можно ли начертить два треугольника так, чтобы образовался девятиугольник?

   Решение

---

Пусть x, y, z – положительные числа и  xyz(x + y + z) = 1.  Найдите наименьшее значение выражения  (x + y)(x + z).

   Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 66]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66371

Темы:   [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Многочлены (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

При каких целых значениях m число Р = 1 + 2m + 3m² + 4m³ + 5m⁴ + 4m⁵ + 3m⁶ + 2m⁷ + m⁸ является квадратом целого числа?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61041

Темы:   [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Многочлены (прочее) ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

а) Числа a, b, c являются тремя из четырёх корней многочлена  x⁴ – ax³ – bx + c.  Найдите все такие многочлены.
б) Числа a, b, c являются корнями многочлена  x⁴ – ax³ – bx + c.  Найдите все такие многочлены.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105163

Темы:   [ Итерации ] [ Многочлены (прочее) ] [ Предел функции ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Дан многочлен P(x) степени 2003 с действительными коэффициентами, причем старший коэффициент равен 1. Имеется бесконечная последовательность целых чисел  a₁, a₂, ...,  такая, что  P(a₁) = 0,  P(a₂) = a₁,  P(a₃) = a₂  и т. д. Докажите, что не все числа в последовательности  a₁, a₂, ...  различны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60974  [Китайская теорема об остатках для многочленов]

Темы:   [ Китайская теорема об остатках ] [ Многочлены (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Пусть m₁(x), ..., m_n(x) – попарно взаимно простые многочлены, a₁(x), ..., a_n(x) – произвольные многочлены.
Докажите, что существует ровно один такой многочлен p(x), что
    p(x) ≡ a₁(x) (mod m₁(x)),
      ...
    p(x) ≡ a_n(x) (mod m_n(x))
и  deg p(x) < deg m₁(x) + ... + deg m_n(x).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61170

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Многочлены (прочее) ] [ Формула Герона ] [ Неравенства для площади треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Пусть x, y, z – положительные числа и  xyz(x + y + z) = 1.  Найдите наименьшее значение выражения  (x + y)(x + z).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 66]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями