Версия для печати
Убрать все задачи

---

Числа a, b, c таковы, что уравнение  x³ + ax² + bx + c = 0  имеет три действительных корня. Докажите, что если  –2 ≤ a + b + c ≤ 0,  то хотя бы один из этих корней принадлежит отрезку  [0, 2].

   Решение

---

Около окружности описан четырёхугольник. Его диагонали пересекаются в центре этой окружности. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.

   Решение

---

Репьюнитами называются числа     Докажите, что если  (m, 10) = 1,  то частное  ^9E_n/_m,  записанное как n-значное число (возможно с нулями в начале), состоит из нескольких периодов десятичного представления дроби ¹/_m. Кроме того, если еще выполнены условия  (m, 3) = 1  и E_n – первый репьюнит, делящийся на m, то число  ^9E_n/_m  будет совпадать с периодом.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60882

Тема:   [ Периодические и непериодические дроби ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Репьюнитами называются числа     Докажите, что если  (m, 10) = 1,  то частное  ^9E_n/_m,  записанное как n-значное число (возможно с нулями в начале), состоит из нескольких периодов десятичного представления дроби ¹/_m. Кроме того, если еще выполнены условия  (m, 3) = 1  и E_n – первый репьюнит, делящийся на m, то число  ^9E_n/_m  будет совпадать с периодом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60883

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ] [ Теорема Эйлера ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите, что если  (m, 30) = 1,  то число, состоящее из цифр периода дроби ¹/_m, делится на 9.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60886

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ] [ Функция Эйлера ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Обозначим через  L(m)  длину периода дроби ¹/_m. Докажите, что если  (m, 10) = 1,  то  L(m)  является делителем числа φ(m).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60893

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Найдите последние три цифры периодов дробей ¹/₁₀₇, ¹/₁₃₁, ¹/₁₅₁. (Это можно сделать, не считая предыдущих цифр.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67280

Темы:   [ Десятичные дроби (прочее) ] [ Ребусы ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

В сумме

П,Я + Т,Ь + Д,Р + О,Б + Е,Й

все цифры зашифрованы буквами (разными буквами — разные цифры). Оказалось, что все пять слагаемых не целые, но сама сумма является целым числом. Каким именно? Для каждого возможного ответа напишите один пример с такими пятью слагаемыми. Объясните, почему другие суммы получить нельзя.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями