Фильтр
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
На рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек, лежащих на рёбрах с общей вершиной, проведена плоскость. Докажите, что если три из четырёх проведённых плоскостей касаются вписанного в тетраэдр шара, то и четвёртая плоскость также его касается.
Решение
Решение
На плоскости даны окружность S и точка P. Прямая, проведенная через точку P, пересекает окружность в точках A и B. Докажите, что произведение PA . PB не зависит от выбора прямой.
Решение
На стороне AB четырехугольника ABCD взята точка M1. Пусть M2 — проекция M1 на прямую BC из D, M3 — проекция M2 на CD из A, M4 — проекция M3 на DA из B, M5 — проекция M4 на AB из C и т. д. Докажите, что M13 = M1 (а значит, M14 = M2, M15 = M3 и т. д.).
Решение
Убрать все задачи
На рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек, лежащих на рёбрах с общей вершиной, проведена плоскость. Докажите, что если три из четырёх проведённых плоскостей касаются вписанного в тетраэдр шара, то и четвёртая плоскость также его касается.
РешениеВ тетраэдр ABCD вписана сфера с центром O, касающаяся его граней BCD, ACD, ABD и ABC в точках A1, B1, C1 и D1 соответственно.
а) Пусть Pa – такая точка, что точки, симметричные ей относительно прямых OB, OC и OD, лежат в плоскости BCD. Точки Pb, Pc и Pd определяются аналогично. Докажите, что прямые A1Pa, B1Pb, C1Pc и D1Pd пересекаются в некоторой точке P.
б) Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр A1B1C1D1; A2 – точка пересечения прямой A1I с плоскостью B1C1D1; B2, C2, D2 определены аналогично. Докажите, что P лежит внутри тетраэдра A2B2C2D2.
РешениеНа плоскости даны окружность S и точка P. Прямая, проведенная через точку P, пересекает окружность в точках A и B. Докажите, что произведение PA . PB не зависит от выбора прямой.
РешениеНа стороне AB четырехугольника ABCD взята точка M1. Пусть M2 — проекция M1 на прямую BC из D, M3 — проекция M2 на CD из A, M4 — проекция M3 на DA из B, M5 — проекция M4 на AB из C и т. д. Докажите, что M13 = M1 (а значит, M14 = M2, M15 = M3 и т. д.).
Решение
Задачи
Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]
На стороне AB четырехугольника ABCD взята
точка M1. Пусть M2 — проекция M1 на прямую BC
из D, M3 — проекция M2 на CD из A, M4 —
проекция M3 на DA из B, M5 — проекция M4 на AB
из C и т. д. Докажите, что
M13 = M1 (а значит,
M14 = M2,
M15 = M3 и т. д.).
Используя проективные преобразования прямой,
докажите теорему о полном четырехстороннике (задача 30.34).
Используя проективные преобразования прямой,
докажите теорему Паппа (задача 30.27).
Используя проективные преобразования прямой,
решите задачу о бабочке (задача 30.44).
Точки A, B, C, D, E, F лежат на одной окружности.
Докажите, что точки пересечения прямых AB и DE, BC
и EF, CD и FA лежат на одной прямой (Паскаль).
Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]
Задача 58454 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 58455 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 58456 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 58457 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 58458 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]
