ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58441
Тема:    [ Переведем данную прямую на бесконечность ]
Сложность: 6
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны четыре точки A, B, C, D. Пусть P, Q, R — точки пересечения прямых AB и CD, AD и BC, AC и BD соответственно; K и L — точки пересечения прямой QR с прямыми AB и CD соответственно. Докажите, что (QRKL) = - 1 (теорема о полном четырехстороннике).

Решение

Сделаем проективное преобразование, исключительной прямой которого является прямая PQ. Через A', B',... обозначим образы точек A, B,... Тогда A'B'C'D' — параллелограмм, R' — точка пересечения его диагоналей, Q' — бесконечно удаленная точка прямой Q'R', K' и L' — точки, высекаемые сторонами параллелограмма на прямой Q'R'. Ясно, что точки K' и L' симметричны относительно точки R'. Следовательно,

(Q'R'K'L') = $\displaystyle {\frac{Q'K'}{Q'L'}}$ : $\displaystyle {\frac{R'K'}{R'L'}}$ = 1 : $\displaystyle {\frac{R'K'}{R'L'}}$ = - 1.

Остается заметить, что согласно задаче 30.2, б) (QRKL) = (Q'R'K'L').

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 30
Название Проективные преобразования
Тема Проективная геометрия
параграф
Номер 3
Название Переведем данную прямую на бесконечность
Тема Переведем данную прямую на бесконечность
задача
Номер 30.034

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .