ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58457
Тема:    [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]
Сложность: 6+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Используя проективные преобразования прямой, решите задачу о бабочке (задача 30.44).

Решение

Пусть F' — точка, симметричная F относительно O. Нам надо доказать, что F' = E. Согласно задаче 30.9 композиция проецирования прямой AB на окружность S из точки M, а затем S обратно на AB из Q является проективным преобразованием прямой AB. Рассмотрим композицию этого преобразования с симметрией относительно точки O. При этом точки A, B, O, E переходят соответственно в B, A, F', O. Следовательно, согласно задаче 30.2, б), (ABOE) = (BAF'O). С другой стороны, ясно, что

(BAF'O) = $\displaystyle {\frac{BF'}{AF'}}$ : $\displaystyle {\frac{BO}{AO}}$ = $\displaystyle {\frac{AO}{BO}}$ : $\displaystyle {\frac{AF'}{BF'}}$ = (ABOF'), т. е. (ABOE) = (ABOF'),

следовательно, согласно задаче 30.3, E = F'.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 30
Название Проективные преобразования
Тема Проективная геометрия
параграф
Номер 5
Название Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство
Тема Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство
задача
Номер 30.049

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .