Две окружности пересекаются в точках A и B. К этим окружностям проведена общая касательная, которая касается окружностей в точках C и D. Докажите, что прямая AB делит отрезок CD пополам.

   Решение

Верхняя сторона бумажного квадрата белая, а нижняя – красная. В квадрате случайным образом выбирается точка F. Затем квадрат сгибают так, чтобы одна случайно выбранная вершина наложилась на точку F. Найдите математическое ожидание числа сторон появившегося красного многоугольника.

   Решение

Ось симметрии многоугольника пересекает его стороны в точках A и B. Докажите, что точка A является либо вершиной многоугольника, либо серединой стороны, перпендикулярной оси симметрии.

   Решение

В тетраэдр ABCD , длины всех ребер которого не более 100, можно поместить две непересекающиеся сферы диаметра 1. Докажите, что в него можно поместить одну сферу диаметра 1,01.

   Решение

100 фишек выставлены в ряд. Разрешено менять местами две фишки, стоящие через одну фишку.
Можно ли с помощью таких операций переставить все фишки в обратном порядке?

   Решение

Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна d и составляет с боковым ребром призмы угол 30^o . Найдите объём призмы.

   Решение

Сколькими способами можно переставить числа от 1 до 100 так, чтобы соседние числа отличались не более, чем на 1?

   Решение

Постройте многочлен R(x) из задачи 61019, если:
  а)  P(x) = x⁶ – 6x⁴ – 4x³ + 9x² + 12x + 4;
  б)  P(x) = x⁵ + x⁴ – 2x³ – 2x² + x + 1.

   Решение

Шесть кружков последовательно соединили отрезками. На каждом отрезке записали некоторое число, а в каждом кружке – сумму двух чисел, записанных на входящих в него отрезках. После этого стёрли все числа на отрезках и в одном из кружков (см. рис.). Можно ли найти число, стёртое в кружке?

   Решение

Докажите, что при гомотетии окружность переходит в окружность.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 45]      

Внутри угла расположены три окружности S₁, S₂, S₃, каждая из которых касается двух сторон угла, причем окружность S₂ касается внешним образом окружностей S₁ и S₃. Известно, что радиус окружности S₁ равен 1, а радиус окружности S₃ равен 9. Чему равен радиус окружности радиус окружности S₂?

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что при гомотетии окружность переходит в окружность.

Прислать комментарий

Решение

Внутри угла расположены две окружности с центрами A, B, которые касаются друг друга и сторон угла. Докажите, что окружность с диаметром AB касается сторон угла.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости дана окружность S и фиксирована некоторая дуга AСB (С - точка на дуге AB) этой окружности. Некоторая окружность S' касается хорды AB в точке P и дуги ACB в точке Q. Докажите, что прямые PQ проходят через фиксированную точку плоскости независимо от выбора окружности S'.

Прислать комментарий

Решение

а) Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AC в точке D, DM — ее диаметр. Прямая BM пересекает сторону AC в точке K. Докажите, что AK = DC.
б) В окружности проведены перпендикулярные диаметры AB и CD. Из точки M, лежащей вне окружности, проведены касательные к окружности, пересекающие прямую AB в точках E и H, а также прямые MC и MD, пересекающие прямую AB в точках F и K. Докажите, что EF = KH.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 45]