Версия для печати
Убрать все задачи

---

Стороны правильного шестиугольника раскрашены через одну в красный и синий цвета. Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри шестиугольника, до прямых, содержащих красные стороны, равна сумме расстояний от этой точки до прямых, содержащих синие стороны.

   Решение

---

Решите уравнение $$ x^3+(\log_25+\log_32+\log_53) x=(\log_23+\log_35+\log_52) x^2+1. $$

   Решение

---

``1 = - 1''. Изучив комплексные числа, Коля Васин решил вывести формулу, которая носила бы его имя. После нескольких попыток ему это удалось:

После некоторых размышлений, Коля придумал более короткое доказательство своего тождества:

Не ошибся ли где-нибудь Коля Васин?

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 54608

Темы:   [ Подобные треугольники и гомотетия (построения) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Гомотетичные окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

С помощью циркуля и линейки впишите в данный угол окружность, проходящую через данную точку.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77874

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ] [ Гомотетичные окружности ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Доказать, что в любом треугольнике имеет место неравенство: R2r (R и r — радиусы описанного и вписанного кругов соответственно), причем равенство R = 2r имеет место только для правильного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108007

Темы:   [ Точка Нагеля. Прямая Нагеля ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ] [ Гомотетичные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Пусть Ω' – окружность, гомотетичная с коэффициентом ½ вписанной окружности ω треугольника относительно точки Нагеля, а Ω – окружность, гомотетичная окружности ω
с коэффициентом –½ относительно точки пересечения медиан. Докажите, что:
  а) окружности Ω и Ω' совпадают;
  б) окружность Ω касается средних линий треугольника;
  в) окружность Ω' касается прямых, соединяющих попарно середины отрезков с концами в точке Нагеля и вершинах треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 54614

Темы:   [ Подобные треугольники и гомотетия (построения) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Гомотетичные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

С помощью циркуля и линейки впишите в данный угол окружность, касающуюся данной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110157

Темы:   [ Производная и кратные корни ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Гомотетичные окружности ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Окружности σ ₁ и σ ₂ пересекаются в точках A и B . В точке A к σ ₁ и σ ₂ проведены соответственно касательные l₁ и l₂ . Точки T₁ и T₂ выбраны соответственно на окружностях σ ₁ и σ ₂ так, что угловые меры дуг T₁A и AT₂ равны (величина дуги окружности считается по часовой стрелке). Касательная t₁ в точке T₁ к окружности σ ₁ пересекает l₂ в точке M₁ . Аналогично, касательная t₂ в точке T₂ к окружности σ ₂ пересекает l₁ в точке M₂ . Докажите, что середины отрезков M₁M₂ находятся на одной прямой, не зависящей от положения точек T₁ , T₂ .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями