а) Докажите, что при переходе от невыпуклого многоугольника к его выпуклой оболочке периметр уменьшается. (Выпуклой оболочкой многоугольника называют наименьший выпуклый многоугольник, его содержащий.)
б) Внутри выпуклого многоугольника лежит другой выпуклый многоугольник. Докажите, что периметр внешнего многоугольника не меньше, чем периметр внутреннего.

   Решение

Пусть AA₁, BB₁, CC₁ — медианы треугольника ABC. Докажите, что + + =

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]      

Четырехугольник ABCD вписанный. Пусть H_a — ортоцентр треугольника BCD, M_a — середина отрезка AH_a; точки M_b, M_c и M_d определяются аналогично. Докажите, что точки M_a, M_b, M_c и M_d совпадают.

Прислать комментарий

Решение

Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R.
а) Пусть S_a — окружность радиуса R с центром в ортоцентре треугольника BCD; окружности S_b, S_c и S_d определяются аналогично. Докажите, что эти четыре окружности пересекаются в одной точке.
б) Докажите, что окружности девяти точек треугольников ABC, BCD, CDA и DAB пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Пусть M — середина отрезка AB, O — произвольная точка. Докажите, что = ( + ).

Прислать комментарий

Решение

Точка M делит сторону BC треугольника ABC в отношении BM : MC = 2 : 5, Известно, что = , = . Найдите вектор .

Прислать комментарий

Решение

Пусть AA₁, BB₁, CC₁ — медианы треугольника ABC. Докажите, что + + =

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]