Информация о задаче

Задача 55352

Темы:	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
Темы:	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть AA₁, BB₁, CC₁ — медианы треугольника ABC. Докажите, что $\overrightarrow{AA}_{1}^{}$ + $\overrightarrow{BB}_{1}^{}$ + $\overrightarrow{CC}_{1}^{}$ = $\overrightarrow{0}$

Подсказка

$\overrightarrow{AA}_{1}^{}$ = ${\frac{1}{2}}$ ( $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AC}$ ).

Решение

Сложив почленно равенства

$\displaystyle \overrightarrow{AA}_{1}^{}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ ), $\displaystyle \overrightarrow{BB}_{1}^{}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{BA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ ), $\displaystyle \overrightarrow{CC}_{1}^{}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{CA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CB}$ ),

получим, что

$\displaystyle \overrightarrow{AA}_{1}^{}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB}_{1}^{}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CC}_{1}^{}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CB}$ ) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle \overrightarrow{0}$ = $\displaystyle \overrightarrow{0}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4501