ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55365
Темы:    [ Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам ]
[ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точка M делит сторону BC треугольника ABC в отношении BM : MC = 2 : 5, Известно, что $ \overrightarrow{AB} $ = $ \overrightarrow{a}$, $ \overrightarrow{AC} $ = $ \overrightarrow{b}$. Найдите вектор $ \overrightarrow{AM}$.


Подсказка

Заметим, что

$\displaystyle \overrightarrow{AM} $ = $\displaystyle \overrightarrow{AB} $ + $\displaystyle \overrightarrow{BM} $$\displaystyle \overrightarrow{AM} $ = $\displaystyle \overrightarrow{AC} $ + $\displaystyle \overrightarrow{CM}$.

Умножим обе части первого равенства на 5, а второго — на 2 и сложим почленно полученные равенства. Тогда

7$\displaystyle \overrightarrow{AM} $ = 5$\displaystyle \overrightarrow{AB} $ + 2$\displaystyle \overrightarrow{AC} $ + 5$\displaystyle \overrightarrow{BM} $ + 2$\displaystyle \overrightarrow{CM}$ =

= 5$\displaystyle \overrightarrow{AB} $ + 2$\displaystyle \overrightarrow{AC} $ + $\displaystyle \overrightarrow{0}$ = 5$\displaystyle \overrightarrow{AB} $ + 2$\displaystyle \overrightarrow{AC} $.

Следовательно,

$\displaystyle \overline{AM}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{7}}$(5$\displaystyle \overrightarrow{AB} $ + 2$\displaystyle \overrightarrow{AC} $) = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{7}}$$\displaystyle \overrightarrow{AB} $ + $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{7}}$$\displaystyle \overrightarrow{AC} $ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{7}}$$\displaystyle \overrightarrow{a} $ + $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{7}}$$\displaystyle \overrightarrow{b} $.


Ответ

$ {\frac{5}{7}}$$ \overrightarrow{a}$ + $ {\frac{2}{7}}$$ \overrightarrow{b}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4514

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .