ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57716
Тема:    [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R.
а) Пусть Sa — окружность радиуса R с центром в ортоцентре треугольника BCD; окружности Sb, Sc и Sd определяются аналогично. Докажите, что эти четыре окружности пересекаются в одной точке.
б) Докажите, что окружности девяти точек треугольников ABC, BCD, CDA и DAB пересекаются в одной точке.

Решение

Пусть O — центр описанной окружности данного четырехугольника, a = $ \overrightarrow{OA}$, b = $ \overrightarrow{OB}$, c = $ \overrightarrow{OC}$ и  d = $ \overrightarrow{OD}$. Если Hd — ортоцентр треугольника ABC, то $ \overrightarrow{OH_d}$ = a + b + c (задача 13.13).
а) Возьмем точку K так, что $ \overrightarrow{OK}$ = a + b + c + d. Тогда KHd = |$ \overrightarrow{OK}$ - $ \overrightarrow{OH_d}$| = |d| = R, т. е. точка K лежит на окружности Sd. Аналогично доказывается, что точка K лежит на окружностях Sa, Sb и Sc.
б) Пусть Od — центр окружности девяти точек треугольника ABC, т. е. середина отрезка OHd. Тогда $ \overrightarrow{OO_d}$ = $ \overrightarrow{OH_d}$/2 = (a + b + c)/2. Возьмем точку X так, что $ \overrightarrow{OX}$ = (a + b + c + d)/2. Тогда XOd = |d|/2 = R/2, т. е. точка X лежит на окружности девяти точек треугольника ABC. Аналогично доказывается, что точка X лежит на окружностях девяти точек треугольников BCD, CDA и DAB.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 4
Название Суммы векторов
Тема Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число
задача
Номер 13.034

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .