Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) В графе есть эйлеров путь. Доказать, что граф связен и вершин с нечётной степенью в нём не больше двух.
б) Доказать обратное: если в связном графе вершин с нечётной степенью не больше двух, то в нём есть эйлеров путь.

   Решение

---

Выразите через элементарные симметрические многочлены следующие выражения:
  а}  (x + y)(y + z)(x + z);
  б}  x³ + y³ + z³ – 3xyz;
  в}  x³ + y³;
  г)  (x² + y²)(y² + z²)(x² + z²);
  д)  
  е)  x⁴ + y⁴ + z⁴.

   Решение

---

Пусть число m имеет вид  m = 2^a5^bm₁,  где  (10, m₁) = 1.  Положим  k = max {a, b}.
Докажите, что период дроби ¹/_m начинается с (k+1)-й позиции после запятой, и имеет такую же длину, как и период дроби ¹/_m1.

   Решение

---

В бригаде 7 человек и их суммарный возраст - 332 года. Докажите, что из них можно выбрать трех человек, сумма возрастов которых не меньше 142 лет.

   Решение

---

Найдите геометрическое место середин всех хорд, проходящих через данную точку окружности.

   Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 105]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111728

Темы:   [ Пересекающиеся сферы ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

В пространстве даны две пересекающиеся сферы разных радиусов и точка A, принадлежащая обеим сферам. Докажите, что в пространстве существует точка B, обладающая следующим свойством: если через точки A и B провести произвольную окружность, то точки ее повторного пересечения с данными сферами будут равноудалены от B.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57059

Темы:   [ Пятиугольники ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Правильный пятиугольник ABCDE со стороной a вписан в окружность S. Прямые, проходящие через его вершины перпендикулярно сторонам, образуют правильный пятиугольник со стороной b (см. рис.). Сторона правильного пятиугольника, описанного около окружности S, равна c. Докажите, что  a² + b² = c².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 54549

Темы:   [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Гомотетичные окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Диаметр, основные свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Найдите геометрическое место середин всех хорд, проходящих через данную точку окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35721

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Неравенства с углами ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Четырехугольник (неравенства) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Докажите, что если в четырехугольнике два противоположные угла тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, меньше другой диагонали.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115292

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Дан остроугольный треугольник ABC. Точки B' и C' симметричны соответственно вершинам B и C относительно прямых AC и AB. Пусть P – точка пересечения описанных окружностей треугольников ABB' и ACC', отличная от A. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на прямой PA.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 105]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями