ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54549
Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Гомотетичные окружности ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Диаметр, основные свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите геометрическое место середин всех хорд, проходящих через данную точку окружности.


Подсказка

Если M - середина хорды AB окружности с центром в точке O(AB — не диаметр), то $ \angle$AMO — прямой.


Решение

Первый способ.

Пусть O — центр данной окружности, A — точка на окружности, M — середина хорды AB (не являющейся диаметром). Тогда отрезок OA виден из точки M под прямым углом, т.к. диаметр проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен ей. Следовательно, середина любой хорды AB (включая и точку O) лежит на окружности с диаметром AO.

Обратно, любая точка этой окружности (за исключением точки A) есть середина какой-то хорды AB, т.к. диаметр, перепендикулярный хорде, делит её пополам.

Второй способ.

Искомое геометричесоке место точек есть окружность (без точки A), гомотетичная данной с коэффициентом $ {\frac{1}{2}}$ и центром в точке A.


Ответ

Окружность (без точки), радиус которой вдвое меньше радиуса данной окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2443

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .