Версия для печати
Убрать все задачи

---

Из натуральных чисел составляются последовательности, в которых каждое последующее число больше квадрата предыдущего, а последнее число в последовательности равно 1969 (последовательности могут иметь разную длину). Доказать, что различных последовательностей такого вида меньше чем 1969.

   Решение

---

Аксиома индукции. Если известно, что некоторое утверждение верно для 1, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n, вытекает его справедливость для n+1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Докажите, что аксиома индукции равносильна любому из следующих утверждений:
1) всякое непустое подмножество натуральных чисел содержит наименьшее число;
2) всякое конечное непустое подмножество натуральных чисел содержит наибольшее число;
3) если некоторое множество натуральных чисел содержит 1 и вместе с каждым натуральным числом содержит следующее за ним, то оно содержит все натуральные числа;
4) если известно, что некоторое утверждение верно для некоторого a, и из предположения, что утверждение верно для всех натуральных чисел k, таких, что a k < n вытекает его справедливость для n, то это утверждение верно для всех натуральных чисел k a;
5) (Обратная индукция.) Если известно, что некоторое утверждение верно для 1 и 2, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n > 1, вытекает его справедливость для 2n и n - 1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.

   Решение

---

Докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 107]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 53531

Темы:   [ Средняя линия трапеции ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Внутри треугольника имеются две точки. Расстояние от одной из них до сторон треугольника равны 1, 3 и 15, а от другой (в том же порядке) – 4, 5 и 11.
Найдите радиус вписанной окружности данного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53549

Темы:   [ Средняя линия трапеции ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Биссектриса угла ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Дана трапеция ABCD с основанием AD. Биссектрисы внешних углов при вершинах A и B пересекаются в точке P, а при вершинах C и D – в точке Q. Докажите, что длина отрезка PQ равна полупериметру трапеции.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53556

Темы:   [ Средняя линия трапеции ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Биссектриса угла ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Докажите, что биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются на средней линии.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 54160

Темы:   [ Средняя линия трапеции ] [ Параллелограмм Вариньона ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны а средняя линия равна 5. Найдите отрезок, соединяющий середины оснований.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 54165  [Теорема о средней линии трапеции]

Темы:   [ Средняя линия трапеции ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Средняя линия треугольника ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 107]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями