Даны две окружности, пересекающиеся в точках $A$, $B$, и точка $O$, лежащая вне их. Циркулем и линейкой постройте такой луч с началом $O$, пересекающий первую окружность в точке $C$, а вторую – в точке $D$, чтобы отношение $OC:OD$ было максимальным.

   Решение

Известно, что если поверхность некоторого тетраэдра ABCD разрезать вдоль рёбер AD , BD и CD , то его развёрткой на плоскость ABC будет квадрат со стороной a . Найдите объём тетраэдра.

   Решение

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены полуокружности так, как показано на рисунке. Докажите, что сумма площадей заштрихованных "луночек" равна площади треугольника.

   Решение

Функция f такова, что для любых положительных x и y выполняется равенство f(xy) = f(x) + f(y) . Найдите f(2007) , если f() = 1 .

   Решение

В равносторонний треугольник ABC вписана полуокружность с центром O на стороне AB. Некоторая касательная к полуокружности пересекает стороны BC и CA в точках M и N соответственно, а прямая, соединяющая точки касания сторон AB и AC с полуокружностью, пересекает отрезки OM и ON в точках Q и P.
Докажите, что  MN = 2PQ.

   Решение

Хорда, перпендикулярная диаметру окружности, делит его в отношении  1 : 3.  Под какими углами видна хорда из концов этого диаметра?

   Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 1359]      

Докажите, что диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов его противоположных сторон равны.

Прислать комментарий

Решение

Рассмотрим два различных четырёхугольника с соответственно равными сторонами.
Докажите, что если у одного из них диагонали перпендикулярны, то и у другого тоже.

Прислать комментарий

Решение

CH – высота прямоугольного треугольника ABC , проведённая из вершины прямого угла. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники ACH , BCH и ABC , равна CH .

Прислать комментарий

Решение

Основание H высоты CH прямоугольного треугольника ABC соединили с серединами M и N катетов AC и BC.
Докажите, что периметр четырёхугольника CMHN равен сумме катетов треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Хорда, перпендикулярная диаметру окружности, делит его в отношении  1 : 3.  Под какими углами видна хорда из концов этого диаметра?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 1359]