Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Четырехугольники
>>
Трапеции
>>
Средняя линия трапеции
Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
Из натуральных чисел составляются последовательности, в которых каждое последующее число больше квадрата предыдущего, а последнее число в последовательности равно 1969 (последовательности могут иметь разную длину). Доказать, что различных последовательностей такого вида меньше чем 1969.
РешениеАксиома индукции. Если известно, что некоторое утверждение верно для 1, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n, вытекает его справедливость для n+1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Докажите, что аксиома индукции равносильна любому из следующих утверждений:
1) всякое непустое подмножество натуральных чисел содержит наименьшее число;
2) всякое конечное непустое подмножество натуральных чисел содержит наибольшее число;
3) если некоторое множество натуральных чисел содержит 1 и вместе с каждым натуральным числом содержит следующее за ним, то оно содержит все натуральные числа;
4) если известно, что некоторое утверждение верно для некоторого a, и из предположения, что утверждение верно для всех натуральных чисел k, таких, что a
5) (Обратная индукция.) Если известно, что некоторое утверждение верно для 1 и 2, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n > 1, вытекает его справедливость для 2n и n - 1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.
РешениеДокажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
РешениеВписанная и вневписанная сферы треугольной пирамиды ABCD касаются её грани BCD в различных точках X и Y.
Докажите, что треугольник AXY тупоугольный.
РешениеКакой наибольший рациональный корень может иметь уравнение вида $ax$² + $bx + c$ = 0, где $a, b$ и $c$ – натуральные числа, не превосходящие 100?
РешениеТаня взяла список из ста чисел 1, 2, 3, . . . , 100 и вычеркнула несколько из них. Оказалось, что какие бы два числа из оставшихся Таня ни взяла в качестве $a$ и $b$, уравнение $x^2 + ax + b=0$ имеет хотя бы один действительный корень. Какое наибольшее количество чисел могло остаться не вычеркнутым?
РешениеДан тетраэдр AB С D , в котором AB = AC = 5 , AD = BC = 4 , BD = CD= 3 . Найдите DM , где M – точка пересечения медиан грани ABC .
РешениеДве стороны треугольника равны 10 и 15. Докажите, что биссектриса угла между ними не больше 12.
РешениеМожно ли:
а) нагрузить две монеты так, чтобы вероятности выпадения "орла" и "решки" были разные, а вероятности выпадения любой из комбинаций "решка, решка", "орел, решка", "орел, орел" были бы одинаковы?
б) нагрузить две кости так, чтобы вероятность выпадения любой суммы от 2 до 12 была одинаковой?
РешениеДана трапеция ABCD с основанием AD. Биссектрисы внешних углов при вершинах A и B пересекаются в точке P, а при вершинах C и D – в точке Q. Докажите, что длина отрезка PQ равна полупериметру трапеции.
Решение
Задачи
Задача 53531 |
|
|
Внутри треугольника имеются две точки. Расстояние от одной из них до сторон треугольника равны 1, 3 и 15, а от другой (в том же порядке) – 4, 5 и 11.
Найдите радиус вписанной окружности данного треугольника.
|
|
Решение |
Задача 53549 |
|
|
Дана трапеция ABCD с основанием AD. Биссектрисы внешних углов при вершинах A и B пересекаются в точке P, а при вершинах C и D – в точке Q. Докажите, что длина отрезка PQ равна полупериметру трапеции.
|
|
|
Решение |
Задача 53556 |
|
|
Докажите, что биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются на средней линии.
|
|
|
Решение |
Задача 54160 |
|
|
Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны а средняя линия равна 5. Найдите отрезок, соединяющий середины оснований.
|
|
|
Решение |
Задача 54165[Теорема о средней линии трапеции] |
|
|
Докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 107]
