На прямоугольном листе бумаги отмечены
  а) несколько точек на одной прямой;
  б) три точки.
Разрешается сложить лист бумаги несколько раз по прямой так, чтобы отмеченные точки не попали на линии сгиба, и затем один раз шилом проколоть сложенный лист насквозь. Докажите, что это можно сделать так, чтобы дырки оказались в точности в отмеченных точках и лишних дырок не получилось.

   Решение

В треугольнике ABC проведены медианы AA₁, BB₁, CC₁ и высоты AA₂, BB₂, CC₂.
Докажите, что длина ломаной A₁B₂C₁A₂B₁C₂A₁ равна периметру треугольника ABC.

   Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 180]      

В треугольнике ABC проведены медианы AA₁, BB₁, CC₁ и высоты AA₂, BB₂, CC₂.
Докажите, что длина ломаной A₁B₂C₁A₂B₁C₂A₁ равна периметру треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка K так, что середина стороны AD равноудалена от точек K и C, а середина стороны CD равноудалена от точек K и A. Точка N – середина отрезка BK. Докажите, что углы NAK и NCK равны.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC  (AB > BC)  K и M – середины сторон AB и AC, O – точка пересечения биссектрис. Пусть P – точка пересечения прямых KM и CO, а точка Q такова, что  QP ⊥ KM  и  QM || BO.  Докажите, что  QO ⊥ AC.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены прямоугольные треугольники ABC₁ и AB₁C, причём  ∠C₁ = ∠B₁ = 90°,
∠ABC₁ = ∠ACB₁ = φ;  M – середина BC. Докажите, что MB₁ = MC₁  и  ∠B₁MC₁ = 2φ.

Прислать комментарий

Решение

На неравных сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники AC₁B и AB₁C с углом φ при вершине, M – точка медианы AA₁ (или её продолжения), равноудалённая от точек B₁ и C₁. Докажите, что  ∠B₁MC₁ = φ.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 180]