Версия для печати
Убрать все задачи

---

Доказать, что если  ^p/_q – несократимая рациональная дробь, являющаяся корнем полинома  f(x) с целыми коэффициентами, то  p – kq  есть делитель числа  f(k) при любом целом k.

   Решение

---

На стороне AC остроугольного треугольника ABC выбраны точки M и K так, что ∠ABM = ∠CBK.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников ABM, ABK, CBM и CBK лежат на одной окружности.

   Решение

---

Среди актеров театра Карабаса Барабаса прошёл шахматный турнир. Каждый участник сыграл с каждым из остальных ровно один раз. За победу давали один сольдо, за ничью – полсольдо, за поражение не давалось ничего. Оказалось, что среди каждых трёх участников найдётся шахматист, заработавший в партиях с двумя другими ровно 1,5 сольдо. Какое наибольшее количество актеров могло участвовать в таком турнире?

   Решение

---

Биссектриса угла B и биссектриса внешнего угла D прямоугольника ABCD пересекают сторону AD и прямую AB в точках M и K соответственно.
Докажите, что отрезок MK равен и перпендикулярен диагонали прямоугольника.

   Решение

---

Из концов дуги в 200° проведены касательные до взаимного пересечения. Найдите угол между ними.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 772]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 53616

Темы:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 2- Классы: 8,9

В треугольник ABC со сторонами  AB = 5,  BC = 7,  CA = 10  вписана окружность. Прямая, пересекающая стороны AB и BC в точках M и K, касается этой окружности. Найдите периметр треугольника MBK.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56684

Тема:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 2 Классы: 8,9

Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром O. Докажите, что если из точки M отрезок AO виден под углом  90^o, то отрезки OB и OC видны из нее под равными углами.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35078

Тема:   [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 2+ Классы: 9

Две окружности пересекаются в точках A и B. К этим окружностям проведена общая касательная, которая касается окружностей в точках C и D. Докажите, что прямая AB делит отрезок CD пополам.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35559

Тема:   [ Общая касательная к двум окружностям ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

На плоскости нарисованы две окружности (см. рис.). Существует ли некоторая точка, лежащая вне каждой из этих окружностей, для которой любая прямая, проходящая через неё, пересекает хотя бы одну из окружностей?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 52601

Темы:   [ Окружность, вписанная в угол ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Из концов дуги в 200° проведены касательные до взаимного пересечения. Найдите угол между ними.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 772]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями