Задача 35078

Тема:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 2+ Классы: 9

Условие

Две окружности пересекаются в точках A и B. К этим окружностям проведена общая касательная, которая касается окружностей в точках C и D. Докажите, что прямая AB делит отрезок CD пополам.

Подсказка

На самом деле верен более общий факт: отрезки касательных, проведенных из любой точки (лежащей вне окружностей) прямой AB к данным окружностям, равны. Доказательство можно вывести из теоремы о касательной и секущей (квадрат длины касательной равен произведению длин отрезков секущей) или используя подобие треугольников.

Решение

Пусть прямая AB пересекает отрезок CD в точке O. Отрезок OC является отрезком касательной, проведенной из точки O к первой окружности. Секущая OA пересекает первую окружность в точках A и B. Воспользуемся тем фактом, что квадрат длины касательной равен произведению длин отрезков секущей. Имеем: OC²=OA*OB (это равенство можно получить из подобия треугольников OCB и OAC, при этом не ссылаясь на теорему о касательной и секущей). Аналогичным образом, рассматривая касательную OD и секущую OA для второй окружности, получаем равенство OD²=OA*OB. Отсюда OC²=OD² и OC=OD, что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача