ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Геометрические неравенства >> Неравенства для элементов треугольника. >> Неравенства для остроугольных треугольников
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что если n – чётное совершенное число, то оно имеет вид  n = 2k–1(2k – 1),  и  p = 2k – 1  – простое число Мерсенна.

Вниз   Решение

Как правило знаков Декарта применить к оценке числа отрицательных корней многочлена  f(x) = anxn + ... + a1x + a0?

ВверхВниз   Решение

Рассмотрим лист клетчатой бумаги со стороной клетки, равной 1. Пусть Pk – число всех непересекающихся ломаных длины k, начинающихся в точке O – некотором фиксированном узле сетки. Доказать, что  Pk·3–k < 2  для любого k.

ВверхВниз   Решение

Рассмотрим равнобедренные треугольники с одними и теми же боковыми сторонами.
Докажите, что чем больше угол при вершине, тем меньше высота, опущенная на основание.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что  $ {\frac{1}{2r}}$ < $ {\frac{1}{h_a}}$ + $ {\frac{1}{h_b}}$ < $ {\frac{1}{r}}$.

ВверхВниз   Решение

На плоскости синим и красным цветом окрашено несколько точек так, что никакие три точки одного цвета не лежат на одной прямой (точек каждого цвета не меньше трёх). Докажите, что какие-то три точки одного цвета образуют треугольник, на трёх сторонах которого лежит не более двух точек другого цвета.

ВверхВниз   Решение

Стороны треугольника равны a, b, c. Известно, что a3=b3+c3. Докажите, что этот треугольник остроугольный.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

  с решениями  

Задача 35382

Темы:   [ Неравенства для остроугольных треугольников ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Стороны треугольника равны a, b, c. Известно, что a3=b3+c3. Докажите, что этот треугольник остроугольный.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57485

Тема:   [ Неравенства для остроугольных треугольников ]
Сложность: 4
Классы: 8

Докажите, что для остроугольного треугольника

$\displaystyle {\frac{m_a}{h_a}}$ + $\displaystyle {\frac{m_b}{h_b}}$ + $\displaystyle {\frac{m_c}{h_c}}$ $\displaystyle \leq$ 1 + $\displaystyle {\frac{R}{r}}$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 57486

Тема:   [ Неравенства для остроугольных треугольников ]
Сложность: 4
Классы: 8

Докажите, что для остроугольного треугольника

$\displaystyle {\frac{1}{l_a}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{l_b}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{l_c}}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \sqrt{2}$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{a}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{b}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{c}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\right)$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 57487

Тема:   [ Неравенства для остроугольных треугольников ]
Сложность: 4
Классы: 8

Докажите, что если треугольник не тупоугольный, то  ma + mb + mc $ \geq$ 4R.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57488

Тема:   [ Неравенства для остроугольных треугольников ]
Сложность: 4+
Классы: 8

Докажите, что если в остроугольном треугольнике  ha = lb = mc, то этот треугольник равносторонний.
Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .