Информация о задаче

Задача 57485

Тема:

[

Неравенства для остроугольных треугольников

]

Сложность: 4
Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для остроугольного треугольника

$\displaystyle {\frac{m_a}{h_a}}$ + $\displaystyle {\frac{m_b}{h_b}}$ + $\displaystyle {\frac{m_c}{h_c}}$ $\displaystyle \leq$ 1 + $\displaystyle {\frac{R}{r}}$ .

Решение

Пусть O — центр описанной окружности, A₁, B₁, C₁ — середины сторон BC, CA, AB соответственно. Тогда m_a = AA₁ $\leq$ AO + OA₁ = R + OA₁. Аналогично m_b $\leq$ R + OB₁ и m_c $\leq$ R + OC₁. Следовательно,

$\displaystyle {\frac{m_a}{h_a}}$ + $\displaystyle {\frac{m_b}{h_b}}$ + $\displaystyle {\frac{m_c}{h_c}}$ $\displaystyle \leq$ R $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}}\right.$ $\displaystyle {\frac{1}{h_a}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{h_b}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{h_c}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}}\right)$ + $\displaystyle {\frac{OA_1}{h_a}}$ + $\displaystyle {\frac{OB_1}{h_b}}$ + $\displaystyle {\frac{OC_1}{h_c}}$ .

Остается воспользоваться результатом задачи 12.22 и решением задачи 4.46.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	12
Название	Неравенства для остроугольных треугольников
Тема	Неравенства для остроугольных треугольников
задача
Номер	10.074