Информация о задаче

Задача 57488

Тема:

[

Неравенства для остроугольных треугольников

]

Сложность: 4+
Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если в остроугольном треугольнике h_a = l_b = m_c, то этот треугольник равносторонний.

Решение

В любом треугольнике h_b $\leq$ l_b $\leq$ m_b (см. задачу 2.67), поэтому h_a = l_b $\geq$ h_b и m_c = l_b $\leq$ m_b. Следовательно, a $\leq$ b и b $\leq$ c (см. задачу 10.1), т. е. c -- наибольшая сторона, а $\gamma$ — наибольший угол.
Из равенства h_a = m_c следует, что $\gamma$ $\leq$ 60^o (см. задачу 10.62). Так как наибольший угол $\gamma$ треугольника ABC не превосходит 60^o, все углы треугольника 60^o.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	12
Название	Неравенства для остроугольных треугольников
Тема	Неравенства для остроугольных треугольников
задача
Номер	10.077