ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57473
Тема:    [ Против большей стороны лежит больший угол ]
Сложность: 4+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC наибольшая из высот AH равна медиане BM. Докажите, что  $ \angle$B $ \leq$ 60o.

Решение

Пусть точка B1 симметрична B относительно точки M. Так как высота, опущенная из точки M на сторону BC, равна половине AH, т. е. половине BM, то  $ \angle$MBC = 30o. Поскольку AH — наибольшая из высот, то BC — наименьшая из сторон. Поэтому  AB1 = BC $ \leq$ AB, т. е.  $ \angle$ABB1 $ \leq$ $ \angle$AB1B = $ \angle$MBC = 30o. Следовательно,  $ \angle$ABC = $ \angle$ABB1 + $ \angle$MBC $ \leq$ 30o + 30o = 60o.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 10
Название Неравенства для элементов треугольника
Тема Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер 9
Название Против большей стороны лежит больший угол
Тема Против большей стороны лежит больший угол
задача
Номер 10.062

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .