Версия для печати
Убрать все задачи
В набор "Юный геометр" входит несколько плоских граней, из которых можно собрать выпуклый многогранник. Юный геометр Саша разделил эти грани на две кучки. Могло ли случиться, что из граней каждой кучки тоже можно собрать выпуклый многогранник?
(И в начале, и в конце каждая из граней набора должна являться гранью многогранника.)
Решение
В гоночном турнире 12 этапов и n участников. После каждого этапа все
участники в зависимости от занятого места k получают баллы ak (числа ak натуральны, и a1 > a2 > ... > an). При каком наименьшем n устроитель турнира может выбрать числа a1, ..., an так, что после предпоследнего этапа при любом возможном распределении мест хотя бы двое участников имели шансы занять первое место.
Решение
Можно ли выписать в строчку 2000 чисел так, чтобы сумма любых трех
последовательных чисел была отрицательной, а сумма всех чисел -
положительной?
Решение
Два четырехугольника $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ симметричны друг другу относительно точки $P$. Известно, что четырехугольники $A_1BCD$, $AB_1CD$ и $ABC_1D$ вписанные. Докажите, что $ABCD_1$ тоже вписанный.
Решение
В треугольнике $ABC$ $N$ – середина дуги $ABC$ описанной окружности треугольника, $NP$ и $NT$ – касательные к вписанной окружности. Прямые $BP$ и $BT$ пересекают второй раз описанную окружность треугольника в точках $P_1$ и $T_1$ соответственно. Докажите, что $PP_1=TT_1$.
Решение
Окружность $\omega_1$ проходит через вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ и касается лучей $CB$, $CD$. Окружность $\omega_2$ касается лучей $AB$, $AD$ и касается внешним образом $\omega_1$ в точке $T$. Докажите, что $T$ лежит на диагонали $AC$.
Решение
Найти все действительные решения уравнения с 4 неизвестными:
x2 + y2 + z2 + t2 = x(y + z + t).
Решение
Фильтр
