Задача 64671
|
|
 |
Условие
Число a – корень уравнения х11 + х7 + х3 = 1. При каких натуральных значениях n выполняется равенство a4 + a3 = an + 1?
Решение
Подстановкой в уравнение убеждаемся в том, что а ≠ 0 и а ≠ ±1.
Из условия следует, что а11 + а7 + а3 = 1. Умножив обе части этого равенства на а4 – 1, получим а15 – а3 = а4 – 1 ⇔ a4 + a3 = a15 + 1. Сравнив полученное равенство с равенством, данным в условии, получим an = a15. Так как a по модулю отлично от нуля и единицы, то n = 15.
Ответ
При n = 15.
Замечания
Левая часть данного уравнения представляет собой геометрическую прогрессию. Поэтому в решении использован тот же приём, что и при выводе формулы суммы первых членов геометрической прогрессии.
