Версия для печати
Убрать все задачи
Докажите равенство треугольников по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам.
Решение
Отрезок
EF параллелен плоскости, в которой лежит прямоугольник
ABCD , причём
EF = 2
,
AB = 4
. Все стороны прямоугольника
ABCD
и отрезки
AE ,
BE ,
CF ,
DF ,
EF касаются некоторого шара. Найдите
объём этого шара.
Решение
В основании треугольной пирамиды
ABCD лежит треугольник
ABC , в котором
BAC = 60
o , а угол
ACB – прямой. Грань
BCD образует угол в
60
o с гранью
ABC . Ребро
BD = 2
. Сфера
касается ребёр
AB ,
AC и грани
BCD . Центр сферы – точка
O лежит
на основании пирамиды, и отрезок
OD перпендикулярен плоскости основания
пирамиды
ABCD . Найдите длину ребра
AC .
Решение
В сумме + 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 можно вычеркивать любые слагаемые и изменять некоторые знаки перед оставшимися числами с "+" на "–". Маша хочет таким способом сначала получить выражение, значение которого равно 1, затем, начав сначала, получить выражение, значение которого равно 2, затем (снова начав сначала) получить 3, и так далее. До какого наибольшего целого числа ей удастся это сделать без пропусков?
Решение
Пассажир оставил вещи в автоматической камере хранения, а когда пришёл получать вещи, выяснилось, что он забыл номер. Он только помнит, что в номере были числа 23 и 37. Чтобы открыть камеру, нужно правильно набрать пятизначный номер. Каково наименьшее количество номеров нужно перебрать, чтобы наверняка открыть камеру?
Решение
На одной из двух данных пересекающихся сфер взяты точки A и B, на другой – C и D. Отрезок AC проходит через общую точку сфер. Отрезок BD проходит через другую общую точку сфер и параллелен прямой, содержащей центры сфер. Докажите, что проекции отрезков AB и CD на прямую AC равны.
Решение
Доказать, что следующие числа не являются квадратами:
а) 12345678; б) 987654; в) 1234560; d) 98765445.
Решение
Фильтр
