В произведении пяти натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 15 раз?

   Решение

Сколькими способами можно заполнить одну карточку в лотерее "Спортпрогноз"? (В этой лотерее нужно предсказать итог тринадцати спортивных матчей. Итог каждого матча – победа одной из команд либо ничья; счёт роли не играет).

   Решение

а) Дан осесимметричный выпуклый 101-угольник. Докажите, что ось симметрии проходит через одну из его вершин.
б) Что можно сказать в случае десятиугольника?

   Решение

Сколько двоек будет в разложении на простые множители числа 1984! ?

   Решение

Даны квадратные трёхчлены  f₁(x),  f₂(x), ...,  f₁₀₀(x) с одинаковыми коэффициентами при x², одинаковыми коэффициентами при x, но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена f_i(x) выбрали один корень и обозначили его через x_i. Какие значения может принимать сумма  f₂(x₁) + f₃(x₂) + ... + f₁₀₀(x₉₉) + f₁(x₁₀₀)?

   Решение

Все коэффициенты квадратного трёхчлена – нечётные целые числа. Докажите, что у него нет корней вида ¹/_n, где n – натуральное число.

   Решение

Правильный n-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что
а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна n²;
б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна  n ctg ^π/_2n;
в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно  n^n/2.

   Решение

Сколькими способами можно разбить 14 человек на пары?

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 157]      

Сколькими способами можно разбить 14 человек на пары?

Прислать комментарий

Решение

На прямой отмечено 10 точек, а на параллельной ей прямой – 11 точек.
Сколько существует  а) треугольников;  б) четырёхугольников с вершинами в этих точках?

Прислать комментарий

Решение

Сколько существует десятизначных чисел, в записи которых имеется хотя бы две одинаковые цифры?

Прислать комментарий

Решение

Имеется множество C, состоящее из n элементов. Сколькими способами можно выбрать в C два подмножества A и B так, чтобы
а) множества A и B не пересекались;
б) множество A содержалось бы в множестве B?

Прислать комментарий

Решение

Рассмотрим лист клетчатой бумаги со стороной клетки, равной 1. Пусть P_k – число всех непересекающихся ломаных длины k, начинающихся в точке O – некотором фиксированном узле сетки. Доказать, что  P_k·3^–k < 2  для любого k.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 157]