Версия для печати
Убрать все задачи

---

В классе больше 32, но меньше 40 человек. Каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка – с пятью мальчиками.
Сколько человек в классе?

   Решение

---

Прямоугольная проекция треугольной пирамиды на некоторую плоскость имеет максимально возможную площадь.
Докажите, что эта плоскость параллельна либо одной из граней, либо двум скрещивающимся ребрам пирамиды.

   Решение

---

а) В графе есть эйлеров путь. Доказать, что граф связен и вершин с нечётной степенью в нём не больше двух.
б) Доказать обратное: если в связном графе вершин с нечётной степенью не больше двух, то в нём есть эйлеров путь.

   Решение

---

Можно ли составить магический квадрат из первых 36 простых чисел?
Магический квадрат – это квадратная таблица, заполненная числами, в которой суммы чисел во всех строках и столбцах равны.

   Решение

---

У Ильи есть табличка $3\times 3$, заполненная числами от $1$ до $9$ так, как в таблице слева. За один ход Илья может поменять местами любые две строчки или любые два столбца. Может ли он за несколько ходов получить таблицу справа?

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 4 7 2 5 8 3 6 9

   Решение

---

Из стакана молока три ложки содержимого переливают в стакан с чаем и небрежно помешивают. Затем зачёрпывают три ложки полученной смеси и переливают их обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: чая в стакане с молоком или молока в стакане с чаем?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 201]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 35583

Темы:   [ Инварианты ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 2 Классы: 7,8

100 фишек выставлены в ряд. Разрешено менять местами две фишки, стоящие через одну фишку.
Можно ли с помощью таких операций переставить все фишки в обратном порядке?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30274  [Задача Гельфанда]

Темы:   [ Инварианты ] [ Задачи на смеси и концентрации ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7,8

Из стакана молока три ложки содержимого переливают в стакан с чаем и небрежно помешивают. Затем зачёрпывают три ложки полученной смеси и переливают их обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: чая в стакане с молоком или молока в стакане с чаем?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 104025

Темы:   [ Инварианты ] [ Четность и нечетность ] [ Числовые таблицы и их свойства ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Миша написал на доске в некотором порядке 2004 плюса и 2005 минусов. Время от времени Юра подходит к доске, стирает любые два знака и пишет вместо них один, причём если он стёр одинаковые знаки, то вместо них он пишет плюс, а если разные, то минус. После нескольких таких действий на доске остался только один знак. Какой?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66628

Тема:   [ Инварианты ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7,8

У Ильи есть табличка $3\times 3$, заполненная числами от $1$ до $9$ так, как в таблице слева. За один ход Илья может поменять местами любые две строчки или любые два столбца. Может ли он за несколько ходов получить таблицу справа?

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 4 7 2 5 8 3 6 9

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108402

Темы:   [ Инварианты ] [ Шахматная раскраска ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

На столе рубашкой вниз лежит игральная карта. Можно ли, перекатывая ее по столу через ребро, добиться того, чтобы она оказалась на прежнем месте, но
а) рубашкой вверх;
б) рубашкой вниз и вверх ногами?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 201]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями