Версия для печати
Убрать все задачи

---

Внутри прямоугольника ABCD взята точка M. Докажите, что существует выпуклый четырехугольник с перпендикулярными диагоналями длины AB и BC, стороны которого равны AM, BM, CM, DM.

   Решение

---

Решите систему
    x² + y² = 1,
    4xy(2y² – 1) = 1.

   Решение

---

Докажите равенства:
  а)     б)     в)     г)     д)  

   Решение

---

Решите систему уравнений:
    1 – x₁x₂ = 0,
    1 – x₂x₃ = 0,
    ...
    1 – x₂₀₀₀x₂₀₀₁ = 0,
    1 – x₂₀₀₁x₁ = 0.

   Решение

---

Из каждой вершины выпуклого многогранника выходят ровно три ребра, причём хотя бы два из этих трёх рёбер равны.
Докажите, что многогранник имеет хотя бы три равных ребра.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 80]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64885

Темы:   [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Существует ли выпуклый многогранник, у которого есть диагонали и каждая диагональ меньше любого ребра?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78779

Темы:   [ Пространственные многоугольники ] [ Сферы (прочее) ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 3 Классы: 11

Дана замкнутая пространственная ломаная с вершинами A₁, A₂, ..., A_n, причём каждое звено пересекает фиксированную сферу в двух точках, а все вершины ломаной лежат вне сферы. Эти точки делят ломаную на 3n отрезков. Известно, что отрезки, прилегающие к вершине A₁, равны между собой. То же самое верно и для вершин A₂, A₃, ..., A_{n - 1}. Доказать, что отрезки, прилегающие к вершине A_n, также равны между собой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116268

Темы:   [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Две пары подобных треугольников ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Грани выпуклого многогранника – подобные треугольники.
Докажите, что многогранник имеет две пары равных граней (одну пару равных граней и еще одну пару равных граней).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116712

Темы:   [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Комбинаторная геометрия (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Из каждой вершины выпуклого многогранника выходят ровно три ребра, причём хотя бы два из этих трёх рёбер равны.
Докажите, что многогранник имеет хотя бы три равных ребра.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116893

Темы:   [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Четырехугольная пирамида ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Какое наибольшее количество треугольных граней может иметь пятигранник?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 80]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями