ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116712
Темы:    [ Многогранники и многоугольники (прочее) ]
[ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из каждой вершины выпуклого многогранника выходят ровно три ребра, причём хотя бы два из этих трёх рёбер равны.
Докажите, что многогранник имеет хотя бы три равных ребра.


Решение 1

Предположим, что это не так. Рассмотрим грань A1A2...An, в которой есть два равных ребра A1A2 и A2A3, выходящие из одной вершины (по условию такая грань существут). Рассмотрим также рёбра AiBi, не лежащие в этой грани (некоторые точки Bi могут совпадать). По предположению  A3A4A3A2A3B3A3A2,  следовательно,  A3B3 = A3A4.  Далее A4A5A4A3A4B4A4A3,  значит,  A4A5 = A4B4.  Продолжая, получим, что  A1A2 = A1B1.  Противоречие.


Решение 2

Пусть есть n вершин, тогда рёбер 3n/2. Для каждой вершины выберем пару равных рёбер с общим концом в этой вершине, всего n пар. Если все пары различны, то в них уже 2n рёбер, что больше чем 3n/2. Противоречие.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2011/2012
Номер 33
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .