Версия для печати
Убрать все задачи
Вася в течение 10 дней решал задачи — каждый день хотя бы одну. Каждый день (кроме первого), если погода была пасмурная, то он решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а если солнечная — на одну задачу меньше. За первые 9 дней Вася решил 13 задач. Какая погода была на десятый день?
Решение
Пусть Ω' – окружность, гомотетичная с коэффициентом ½ вписанной окружности ω треугольника относительно точки Нагеля, а Ω – окружность, гомотетичная окружности ω
с коэффициентом –½ относительно точки пересечения медиан. Докажите, что:
а) окружности Ω и Ω' совпадают;
б) окружность Ω касается средних линий треугольника;
в) окружность Ω' касается прямых, соединяющих попарно середины отрезков с концами в точке Нагеля и вершинах треугольника.
Решение
Рассмотрим степени пятерки: 1, 5, 25, 125, 625, ... Образуем последовательность их первых цифр: 1, 5, 2, 1, 6, ...
Докажите, что любой кусок этой последовательности, записанный в обратном
порядке, встретится в последовательности первых цифр степеней двойки (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, ...).
Решение
Окружность с центром
O вписана в четырёхугольник
ABCD
и касается его непараллельных сторон
BC и
AD в точках
E и
F соответственно. Пусть прямая
AO и отрезок
EF
пересекаются в точке
K , прямая
DO и отрезок
EF –
в точке
N , а прямые
BK и
CN – в точке
M . Докажите,
что точки
O ,
K ,
M и
N лежат на одной окружности.
Решение
Пусть a, b, c, d, e и f – некоторые числа, причём ace ≠ 0. Известно, что значения выражений |ax + b| + |cx + d| и |ex + f | равны при всех значениях x.
Докажите, что ad = bc.
Решение
Фильтр
