Условие
Окружность с центром
O вписана в четырёхугольник
ABCD
и касается его непараллельных сторон
BC и
AD в точках
E и
F соответственно. Пусть прямая
AO и отрезок
EF
пересекаются в точке
K , прямая
DO и отрезок
EF –
в точке
N , а прямые
BK и
CN – в точке
M . Докажите,
что точки
O ,
K ,
M и
N лежат на одной окружности.
Решение
Пусть вписанная окружность четырёхугольника
ABCD касается его
стороны
AB в точке
P . Из точек
P и
E отрезок
OB виден
под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром
OB . Докажем, что на этой окружности лежит и точка
K .
Действительно, поскольку
POA – половина центрального угла
POF
вписанной окружности данного четырёхугольника, а
PEF – угол, вписанный
в эту окружность, то
POA = PEF . Поэтому
POK = PEK .
Значит, точка
K лежит на окружности, проходящей через точки
P ,
O и
E ,
т.е. на окружности с диаметром
OB
Из доказанного следует, что
BKO = 90
o . Аналогично докажем,
что
CND = 90
o . Значит, из точек
K и
N отрезок
OM
виден под прямым углом. Следовательно, точки
O ,
K ,
M и
N лежат на
окружности с диаметром
OM .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
6547 |
|
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Всероссийская олимпиада по математике |
|
год |
|
Год |
1994 |
|
Этап |
|
Вариант |
4 |
|
класс |
|
Класс |
10 |
|
задача |
|
Номер |
94.4.10.3 |
