В выпуклом многоугольнике на плоскости содержится не меньше  m² + 1  точек с целыми координатами.
Докажите, что в нём найдутся  m + 1  точек с целыми координатами, которые лежат на одной прямой.

   Решение

Докажите, что в записи числа 2³⁰ есть по крайней мере две одинаковые цифры, не вычисляя его.

   Решение

Дан угол ABC и прямая l. Постройте прямую, параллельную прямой l, на которой стороны угла ABC высекают отрезок данной длины a.

   Решение

Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1.
  а) Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани быть квадрат площади 1?
  б) А квадрат площади ¹/₂₀₁₉?

   Решение

Докажите, что среди москвичей есть два человека с равным числом волос, если известно, что у любого человека на голове менее одного миллиона волос.

   Решение

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке (точка Нагеля).

Прислать комментарий

Решение

Пусть Ω' – окружность, гомотетичная с коэффициентом ½ вписанной окружности ω треугольника относительно точки Нагеля, а Ω – окружность, гомотетичная окружности ω
с коэффициентом –½ относительно точки пересечения медиан. Докажите, что:
  а) окружности Ω и Ω' совпадают;
  б) окружность Ω касается средних линий треугольника;
  в) окружность Ω' касается прямых, соединяющих попарно середины отрезков с концами в точке Нагеля и вершинах треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Общая внешняя касательная к окружностям $\omega_1$ и $\omega_2$ касается их в точках $T_1$, $T_2$ соответственно. Пусть $A$ – произвольная точка на продолжении отрезка $T_1T_2$ за точку $T_1$, а $B$ – точка на продолжении отрезка $T_1T_2$ за точку $T_2$ такая, что $AT_1=BT_2$. Отличные от прямой $T_1T_2$ касательные из $A$ к $\omega_1$ и из $B$ к $\omega_2$ пересекаются в точке $C$. Докажите, что нагелианы всех треугольников $ABC$ из вершины $C$ проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Постройте треугольник по точке Нагеля, вершине $B$ и основанию высоты, проведенной из этой вершины.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]