a, b, c – натуральные числа,  НОД(a, b, c) = 1  и     Докажите, что  a – b  – точный квадрат.

   Решение

В остроугольном треугольнике АВС угол В равен 45°, АМ и CN – высоты, О – центр описанной окружности, Н – ортоцентр.
Докажите, что ОNHМ – параллелограмм.

   Решение

а) Точки A₁ и B₁ делят стороны BC и AC треугольника ABC в отношениях  BA₁ : A₁C = 1 : p  и  AB₁ : B₁C = 1 : q.  В каком отношении отрезок AA₁ делится отрезком BB₁?

б) На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты точки A₁ и B₁. Отрезки AA₁ и BB₁ пересекаются в точке D. Пусть a₁, b₁, c и d – расстояния от точек A₁, B₁, C и D до прямой AB. Докажите, что  ¹/_a1 + ¹/_b1 = ¹/_c + ¹/_d.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

Существует ли функция $f$, определенная на отрезке $[-1;1]$, которая при всех действительных $x$ удовлетворяет равенству $$ 2f(\cos x)=f(\sin x)+\sin x?$$

Прислать комментарий

Решение

Существует ли на координатной плоскости точка, относительно которой симметричен график функции $f(x)=\frac{1}{2^x+1}$?

Прислать комментарий

Решение

Даны многочлен P(x) и такие числа  a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃,  что  a₁a₂a₃ ≠ 0.  Оказалось, что  P(a₁x + b₁) + P(a₂x + b₂) = P(a₃x + b₃)  для любого действительного x. Докажите, что P(x) имеет хотя бы один действительный корень.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]