ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116775
Темы:    [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ]
[ Функции. Непрерывность (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны многочлен P(x) и такие числа  a1, a2, a3, b1, b2, b3,  что  a1a2a3 ≠ 0.  Оказалось, что  P(a1x + b1) + P(a2x + b2) = P(a3x + b3)  для любого действительного x. Докажите, что P(x) имеет хотя бы один действительный корень.


Решение 1

  Предположим, что P(x) не имеет действительных корней. Тогда P(x) имеет чётную степень, не меньшую 2. Действительно, любой многочлен нечётной степени имеет хотя бы один действительный корень, а если  P(x) = const,  то из условия получаем, что  P(x) ≡ 0.
  Так как P(x) не имеет действительных корней, то он принимает значения одного знака. Будем считать, что  P(x) > 0  (иначе умножим его на –1). Поскольку P(x) имеет чётную степень, найдётся точка t0, в которой достигается (глобальный нестрогий) минимум P(x), то есть  P(x) ≥ P(t0) = A > 0.  Рассмотрим такое x0, что  t0 = a3x0 + b3.  Тогда  P(a1x0 + b1) + P(a2x0 + b2) ≥ 2A > A = P(t0) = P(a3x0 + b3).  Противоречие.


Решение 2

  Если  a1a3,  то существует такое x0, что  a1x0 + b1 = a3x0 + b3.  Подставляя  x = x0  в данное равенство, получаем после сокращения  P(a2x0 + b2) = 0,  то есть у P(x) есть корень. Аналогично рассматривается случай   a2a3.
  Остался лишь случай  a1 = a2 = a3 = a ≠ 0.  Пусть p0 – старший коэффициент многочлена P(x), а n – его степень. Тогда старшие коэффициенты многочленов в левой и правой частях данного равенства равны 2p0an и  p0an, поэтому  p0 = 0.  Это значит, что  P(x) ≡ 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2011-2012
Этап
Вариант 5
класс
Класс 11
Задача
Номер 11.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .