Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что при  x ∈ (0, ^π/₂)  выполняется неравенство  

   Решение

---

Окружность, построенная на высоте AD прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает катет AB в точке K, а катет AC — в точке M. Отрезок KM пересекает высоту AD в точке L. Известно, что отрезки AK, AL и AM составляют геометрическую прогрессию (т.е. = ). Найдите острые углы треугольника ABC.

   Решение

---

Пусть характеристическое уравнение (11.3) последовательности {a_n} имеет корень x₀ кратности 2. Докажите, что при фиксированных a₀, a₁ существует ровно одна пара чисел c₁, c₂ такая, что

   Решение

---

В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, а диагональ DB перпендикулярна боковой стороне AB. На продолжениях боковых сторон AB и DC за меньшее основание BC отложены отрезки BM и CN так, что получается новая трапеция BMNC, подобная трапеции ABCD. Найдите площадь трапеции ABCD, если площадь трапеции AMND равна S, а сумма углов CAD и BDA равна 60°.

   Решение

---

Докажите, что если длины всех сторон треугольника меньше 1, то его площадь меньше /4.

   Решение

---

Из горячего крана ванна заполняется за 23 минуты, из холодного – за 17 минут. Маша открыла сначала горячий кран. Через сколько минут она должна открыть холодный, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1,5 раза больше, чем холодной?

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98377

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Формула включения-исключения ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7,8

Аня, Боря и Вася составляли слова из заданных букв. Все составили разное число слов: больше всех – Аня, меньше всех – Вася. Затем ребята просуммировали очки за свои слова. Если слово есть у двух игроков, за него даётся 1 очко, у одного игрока – 2 очка, слова, общие у всех трёх игроков, вычёркиваются. Могло ли так случиться, что больше всех очков набрал Вася, а меньше всех – Аня?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111240

Темы:   [ Задачи на проценты и отношения ] [ Формула включения-исключения ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

По данным опроса, проведенного в 7 "Е" классе, выяснилось, что 20% учеников, интересующихся математикой, интересуются еще и физикой, а 25% учеников, интересующихся физикой, интересуются также и математикой. И только Пете с Васей не интересен ни один из этих предметов. Сколько человек в 7 "Е", если известно, что их больше 20, но меньше 30?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32791

Темы:   [ Задачи на проценты и отношения ] [ Формула включения-исключения ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Трое сумасшедших маляров принялись красить пол каждый в свой цвет. Один успел закрасить красным 75% пола, другой зелёным – 70%, третий синим – 65%. Какая часть пола заведомо закрашена всеми тремя красками?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58107

Темы:   [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ] [ Формула включения-исключения ] [ Сочетания и размещения ] [ Перегруппировка площадей ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

   а) В квадрате площади 6 расположены три многоугольника площади 3. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника,
площадь общей части которых не меньше 1.
   б) В квадрате площади 5 расположено девять многоугольников площади 1. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника,
площадь общей части которых не меньше ¹/₉.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98650

Темы:   [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Формула включения-исключения ]

Сложность: 3 Классы: 6,7

В каждой комнате особняка стояли букеты цветов. Всего было 30 букетов роз, 20 – гвоздик и 10 – хризантем, причём, в каждой комнате стоял хотя бы один букет. При этом ровно в двух комнатах стояли одновременно и хризантемы, и гвоздики, ровно в трёх комнатах – и хризантемы, и розы, ровно в четырёх комнатах – и гвоздики, и розы. Могло ли в особняке быть 55 комнат?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями