Задача 55522

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Лоповок Л.М.

Окружность, построенная на высоте AD прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает катет AB в точке K, а катет AC — в точке M. Отрезок KM пересекает высоту AD в точке L. Известно, что отрезки AK, AL и AM составляют геометрическую прогрессию (т.е. = ). Найдите острые углы треугольника ABC.

Подсказка

Докажите, что четырёхугольник AKDM — прямоугольник.

Решение

Поскольку AD и KM — диаметры указанной окружности, то четырёхугольник AKDM — прямоугольник. Пусть P — проекция вершины A на диаметр KM. Тогда

AL² = AK ^. AM = KM ^. AP = AD ^. AP = 2AL ^. AP.

Отсюда находим, что AL = 2AP. Следовательно, в прямоугольном треугольнике APL угол APL равен 30^o, а т.к. ALP = 2LAM, то LAM = 15^o. Значит,

ACB = 90^o - DAC = 90^o - LAM = 75^o, ABC = 90^o - 75^o = 15^o.

Ответ

15^o, 75^o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4845
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1970
выпуск
Номер	8
Задача
Номер	М38