Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 73571 (#М36)

Темы:	[	Системы точек и отрезков (прочее)	]
Темы:	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

На плоскости нельзя расположить семь прямых и семь точек так, чтобы через каждую из точек проходили три прямые и на каждой прямой лежали три точки. Докажите это.

Прислать комментарий Решение

Задача 73572 (#М37)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Метод спуска	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Ионин Ю.И.

В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы.
а) Докажите существование такого числа c, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше c; другими словами, докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены.
б) Докажите, что можно взять c = 4.
в) Улучшите эту оценку – докажите, что утверждение верно для c = 3.
г) Постройте пример, показывающий, что при c > 3 утверждение неверно.

Прислать комментарий

Решение

Задача 55522 (#М38)

Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
Темы:	[	Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Лоповок Л.М.

Окружность, построенная на высоте AD прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает катет AB в точке K, а катет AC — в точке M. Отрезок KM пересекает высоту AD в точке L. Известно, что отрезки AK, AL и AM составляют геометрическую прогрессию (т.е. ${\frac{AK}{AL}}$ = ${\frac{AL}{AM}}$ ). Найдите острые углы треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 73574 (#М39)

Темы:	[	Линейные рекуррентные соотношения	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Метод спуска	]
	[	Итерации	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Целые неотрицательные числа x и y удовлетворяют равенству x² – mxy + y² = 1 (1) тогда и только тогда, когда x и y – соседние члены последовательности (2): a₀ = 0, a₁ = 1, a₂ = m, a₃ = m² – 1, a₄ = m³ – 2m, a₅ = m⁴ – 3m² + 1, ..., в которой a_k+1 = ma_k – a_k–1 для любого k 0. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73575 (#М40)

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Березин В.Н.

Найдите суммы
а) 1·n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ... + n·1.
б) S_n,k = (1·2·...·k)·(n(n – 1)...(n – k + 1)) + (2·3·...·(k + 1))·((n – 1)(n – 2)...(n – k)) + ... + ((n – k + 1)(n – k + 2)...·n)·(k(k – 1)·...·1).

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]