|
|
 |
Условие
а) В квадрате площади 6 расположены три многоугольника площади 3. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника,площадь общей части которых не меньше 1.
б) В квадрате площади 5 расположено девять многоугольников площади 1. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника,
площадь общей части которых не меньше 1/9.
Решение 1
а) Согласно задаче 58106 а) 6 = 9 – (S12 + S23 + S13) + S123, то есть S12 + S23 + S13 = 3 + S123 ≥ 3.
Поэтому одно из чисел S12, S23, S13 не меньше 1.
б) Согласно задаче 58106 б) 5 ≥ 9 – M2, т. е. M2 ≥ 4. Так как из девяти многоугольников можно образовать пар, площадь общей части одной из этих пар не меньше M2 : 36 ≥ 1/9.
Решение 2
а) Пусть даны многоугольники K, L, M. Предположим, что каждые два из них пересекаются по площади, меньшей 1.
Тогда площадь фигуры K ∪ L больше 3 + 3 – 1 = 5.
Общая площадь части многоугольника M, покрытой фигурой K ∪ L , меньше 2, а площадь его "свободной" части меньше
6 – 5 = 1. Это противоречит тому, что площадь M равна 3.
б) Предположим, что каждые два из многоугольников K1, ..., K9 пересекаются по площади, меньшей 1/9. Тогда площадь фигуры K1 ∪ K2
больше 1 + 1 – 1/9 = 2 – 1/9.
Общая площадь части многоугольника K3, покрытой фигурой K1 ∪ K2 , меньше 2/9, поэтому площадь фигуры K1 ∪ K2 ∪ K3
больше (2 – 1/9) + (1 – 2/9) = 3 – 1+2/9.
Продолжая аналогичные рассуждения, получим, что площадь фигуры K1 ∪ K2 ∪ ... ∪ K9 больше 9 – (1 + 2 + ... + 8) : 9 = 5. Противоречие.
Замечания
См. также задачу 60445.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 2 |
| Название | Комбинаторика |
| Тема | Комбинаторика |
| параграф | |
| Номер | 4 |
| Название | Формула включений и исключений |
| Тема | Формула включения-исключения |
| задача | |
| Номер | 02.109-110 |
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 21 |
| Название | Принцип Дирихле |
| Тема | Принцип Дирихле |
| параграф | |
| Номер | 3 |
| Название | Площадь |
| Тема | Принцип Дирихле (площадь и объем) |
| задача | |
| Номер | 21.028 |
