Через общую точку A окружностей S₁ и S₂ проведите прямую l так, чтобы разность длин хорд, высекаемых на l окружностями S₁ и S₂ имела заданную величину a.

   Решение

Дана возрастающая последовательность положительных чисел  $...< a_{-2} < a_{-1} < a_{0} < a_{1} < a_{2} < ...,$  бесконечная в обе стороны. Пусть $b_k$ – наименьшее целое число со свойством: отношение суммы любых $k$ подряд идущих членов данной последовательности к наибольшему из этих $k$ членов не превышает $b_k$. Докажите, что последовательность $b_{1}, b_{2}, b_{3}$, ... либо совпадает с натуральным рядом 1, 2, 3, ..., либо с некоторого момента постоянна.

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      

На плоскости дано 300 точек, никакие 3 которых не лежат на одной прямой. Докажите, что существует 100 попарно не пересекающихся треугольников с вершинами в этих точках.

Прислать комментарий

Решение

Через точку пересечения медиан треугольника ABC проходит прямая, пересекающая стороны AB и AC. Расстояния от вершин B и C до этой прямой равны b и c соответственно. Найдите расстояние от вершины A до этой прямой.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости нарисовано несколько многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку.
Докажите, что найдётся прямая, пересекающая все эти многоугольники.

Прислать комментарий

Решение

Через точку пересечения медиан треугольника ABC проходит прямая, пересекающая стороны AB и AC. Расстояния от вершин B и C до этой прямой равны a и b соответственно. Найдите расстояние от вершины A до этой прямой.

Прислать комментарий

Решение

На отрезке AB взята точка C. Прямая, проходящая через точку C, пересекает окружности с диаметрами AC и BC в точках K и L, а также окружность с диаметром AB — в точках M и N. Докажите, что KM = LN.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]