Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 67321 (#1)

Темы:	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
Темы:	[	Функции. Непрерывность (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Горяшин Д.В.

Существует ли на координатной плоскости точка, относительно которой симметричен график функции $f(x)=\frac{1}{2^x+1}$?

Прислать комментарий Решение

Задача 67322 (#2)

Тема:

[

Турниры и турнирные таблицы

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Евдокимов М.А.

Чемпионат по футболу проходил в два круга. В каждом круге каждая команда сыграла с каждой один матч (за победу даётся три очка, за ничью одно, за поражение ноль). Оказалось, что все команды вместе набрали в первом круге 60 от общей суммы всех очков за два круга. Известно также, что победитель чемпионата набрал во втором круге в 30 раз меньше очков, чем все команды вместе в первом круге. Сколько команд участвовало в турнире?

Прислать комментарий Решение

Задача 67323 (#3)

Тема:

[

Арифметика остатков (прочее)

]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Фольклор

Докажите, что если при $n\in\mathbb{N}$ число $2+2\sqrt{12n^2+1}$ целое, то оно – точный квадрат.

Прислать комментарий Решение

Задача 67324 (#4)

Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Михайлов И.

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH_A$, $BH_B$ и $CH_C$ пересекаются в точке $H$. Через точки, в которых окружность радиуса $HH_A$ с центром $H$ пересекает отрезки $BH$ и $CH$, проведена прямая $\ell_A$. Аналогично проведены прямые $\ell_B$ и $\ell_C$. Докажите, что точка пересечения высот треугольника, образованного прямыми $\ell_A$, $\ell_B$, $\ell_C$, совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67325 (#5)

Темы:	[	Обход графов	]
	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Грибалко А.В., Михайлов И.

Петя и Вася независимо друг от друга разбивают белую клетчатую доску $100\times 100$ на произвольные группы клеток, каждая из чётного (но не обязательно все из одинакового) числа клеток, каждый – на свой набор групп. Верно ли, что после этого всегда можно покрасить по половине клеток в каждой группе из разбиения Пети в чёрный цвет так, чтобы в каждой группе из разбиения Васи было поровну чёрных и белых клеток?

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]