Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]

Задача 64860 (#10.6)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Garsia E.H.

Вписанная окружность разностороннего треугольника ABC касается стороны AB в точке C'. Окружность с диаметром BC' пересекает вписанную окружность вторично в точке A₁, а биссектрису угла B вторично в точке A₂. Окружность с диаметром AC' пересекает вписанную окружность вторично в точке B₁, а биссектрису угла A вторично в точке B₂. Докажите, что прямые AB, A₁B₁, A₂B₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64861 (#10.7)

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Двугранный угол	]
	[	Площадь и ортогональная проекция	]
	[	Проектирование помогает решить задачу	]
	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Авторы: Шлосман С., Огиевецкий О.

Докажите, что для любого тетраэдра его самый маленький двугранный угол (из шести) не больше чем двугранный угол правильного тетраэдра.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64862 (#10.8)

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Точка Лемуана	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Белухов Н.

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Внутри треугольника BCD взяли точку L_a, расстояния от которой до сторон треугольника пропорциональны этим сторонам. Аналогично внутри треугольников ACD, ABD, ABC взяли точки L_b, L_c и L_d соответственно. Оказалось, что четырёхугольник L_aL_bL_cL_d вписанный. Докажите, что у ABCD есть две параллельные стороны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]