ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 64451  (#1)

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ]
[ Объединение, пересечение и разность множеств ]
[ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Петя нарисовал на плоскости квадрат, разделил на 64 одинаковых квадратика и раскрасил их в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. После этого он загадал точку, находящуюся строго внутри одного из этих квадратиков. Вася может начертить на плоскости любую замкнутую ломаную без самопересечений и получить ответ на вопрос, находится ли загаданная точка строго внутри ломаной или нет. За какое наименьшее количество таких вопросов Вася может узнать, какого цвета загаданная точка – белого или чёрного?

Прислать комментарий     Решение

Задача 30263  (#2)

Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Жуков Г.

Найдите все n, при которых для любых двух многочленов P(x) и Q(x) степени n найдутся такие одночлены axk и bxl
(0 ≤ k ≤ n,  0 ≤ l ≤ n),  что графики многочленов  P(x) + axk  и  Q(x) + bxl  не будут иметь общих точек.

Прислать комментарий     Решение

Задача 35489  (#3)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дан правильный треугольник ABC с центром O. Прямая, проходящая через вершину C, пересекает описанную окружность треугольника AOB в точках D и E. Докажите, что точки A, O и середины отрезков BD, BE лежат на одной окружности.

Прислать комментарий     Решение

Задача 32134  (#4)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Bong-Gyun Koh

Каждое ли целое число можно записать как сумму кубов нескольких целых чисел, среди которых нет одинаковых?

Прислать комментарий     Решение

Задача 102995  (#5)

Темы:   [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]
[ Доказательство от противного ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Стунжас Л.

Существуют ли такие две функции  f и g, принимающие только целые значения, что для любого целого x выполнены соотношения:
  а)  f(f(x)) = x,  g(g(x)) = x,   f(g(x)) > x,  g(f(x)) > x?
  б)  f(f(x)) < x, g(g(x)) < x,   f(g(x)) > x,  g(f(x)) > x?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .