Задача 35489

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Дан правильный треугольник ABC с центром O. Прямая, проходящая через вершину C, пересекает описанную окружность треугольника AOB в точках D и E. Докажите, что точки A, O и середины отрезков BD, BE лежат на одной окружности.

Решение

  Пусть C' – середина BC, а E лежит между С и D. Тогда точка E' (середина BE) лежит на средней линии C'D' треугольника CBD.

  В правильном треугольнике ABC вершина A, центр O и точка C' также лежат на одной прямой. Угол ABC равен половине дуги AOB, поэтому BC – касательная. Тогда  C'E'·C'D' = ¼ CE·CD = ¼ CB² = С'B² = C'O·C'A.  Отсюда по теореме, обратной к теореме о произведении отрезков секущих, и следует вписанность четырёхугольника AOE'D'.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	35
Дата	2013/2014
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	3