Страница:
<< 1 2 3 4 5
6 >> [Всего задач: 29]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9
|
Рациональные числа x, y и z таковы, что все числа x + y² + z², x² + y + z² и x² + y² + z целые. Докажите, что число 2x целое.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Дан треугольник ABC. Прямая l касается вписанной в него окружности. Обозначим через la, lb, lc прямые, симметричные l относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику ABC.
Дан остроугольный треугольник ABC. Для произвольной прямой l обозначим через la, lb, lc прямые, симметричные l относительно сторон треугольника, а через Il – центр вписанной окружности треугольника, образованного этими прямыми. Найдите геометрическое место точек Il.
Для n = 1, 2, 3 будем называть числом n-го типа любое число, которое либо равно 0, либо входит в бесконечную геометрическую прогрессию
1, (n + 2), (n + 2)², ..., либо является суммой нескольких различных её членов. Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде суммы числа первого типа, числа второго типа и числа третьего типа.
Обозначим через S(n, k) количество не делящихся на k коэффициентов разложения многочлена (x + 1)n по степеням x.
а) Найдите S(2012, 3).
б) Докажите, что S(20122011, 2011) делится на 2012.
Страница:
<< 1 2 3 4 5
6 >> [Всего задач: 29]
Фильтр
